Aujourd’hui, grand jeu de massacre !!! Nous avons volontairement introduit des erreurs dans nos calculs et nos mesures pour en voir les conséquences sur la circonférence de la Terre. Ce que nous voulions comprendre, c’est ce que donnait une erreur de 1° ou de 1 mm dans nos mesures.
1°) Le jeu des 8 erreurs :
Quelles erreurs peut-on faire avec la méthode d’Eratosthène ? Nous en avons trouvé 8 :
- la planche du gnomon peut ne pas être bien horizontale
- le gnomon peut ne pas être bien vertical
- l’heure de la mesure de l’ombre du gnomon peut avoir été faite à une mauvaise heure, différente de celle où l’ombre est vraiment la plus courte et le Soleil le plus haut dans le ciel
- la mesure de la longueur de l’ombre du gnomon peut être fausse
- une fois revenus en classe, le cercle représentant la Terre sur notre dessin peut ne pas être parfaitement rond
- le tracé et le découpage de notre secteur angulaire en bristol peuvent avoir été faits de travers
- la mesure du segment Toussaint-Vayres sur le dessin, avec notre petit bout de ficelle, peut être imprécise
- nous pouvons également nous tromper dans la distance Vayres-Toussaint, comme cela nous est arrivé la semaine dernière (où nous avions retenu la valeur de 732 km alors qu’en réalité, il n’y a que 538 km entre Vayres et Toussaint !)
Nous avons décidé de reprendre nos mesures du 24 mai dernier. L’ombre à Toussaint était alors de 5,6 cm à Vayres et de 4,6 cm à Toussaint. Les angles alpha étaient ainsi de 25° à Vayres et de 30° à Toussaint. A partir de ces mesures, et avec une distance Toussaint-Vayres de 538 km, nous avions calculé que la circonférence de la Terre était de 43 040 km
Nous nous sommes donc amusés à changer un peu les valeurs de ces différentes mesures pour voir ce que cela donnait.
2°) Première expérience : si la planche et le gnomon ne sont pas bien droits, que se passe-t’il ?
Nous avons décidé d’incliner la planche d’un petit degré par rapport à l’horizontale et nous avons penché le gnomon également de 1° afin qu’il ne soit plus parfaitement perpendiculaire à la planche.
L’angle alpha a été en ce cas de 35° (contre 30° le 24 mai, lorsque le gnomon était bien à l’équerre). Conséquence : la différence d’angle alpha entre Vayres et Toussaint est maintenant de 35-25 = 10° (contre 5° le 24 mai dernier).
Nous avons alors découpé dans du bristol un nouveau secteur angulaire de 10° et nous l’avons utilisé pour placer Toussaint et Vayres sur un dessin de la Terre mesurant 20,1 cm de diamètre.
Avec une petite ficelle, nous avons mesuré, comme la semaine dernière, la longueur du segment séparant Toussaint de Vayres et avons trouvé la valeur de 1,7 cm.
Un calcul de fraction nous a permis de trouver que ces 1,7 cm représentaient la 37,13ème partie du cercle. En clair, cela veut dire qu’il faut multiplier le segment Toussaint-Vayres 37,13 fois pour faire le tour de la circonférence de notre dessin de la Terre.
Transposé à la vraie distance Toussaint-Vayres ( 538 km), cela nous donne donc une circonférence terrestre de 538 km x 37,13 = 19 974 km environ.
Alors qu’avec un gnomon et une planche bien réglés, nous avions trouvé la semaine dernière 43 040 km…
Voilà, il a suffi d’incliner la planche de 1° et de pencher le gnomon de 1° par rapport à la planche pour que le calcul du tour de la Terre passe de 43 040 km à 19 974 km. Une erreur de 23 066 km (43 040 – 19 974 = 23 066 km) !!! Tout çà pour un décalage de quelques malheureux petits degrés de rien du tout !!!!
3°) Deuxième expérience : et si notre cercle représentant la Terre est mal dessiné ?
Nous avons refaits les calculs précédents avec un cercle de 10 cm de diamètre et l’autre avec un cercle de 5 cm. Tout de suite, nous nous sommes rendus compte que mesurer les angles sur un tout petit cercle de 5 cm est beaucoup plus difficile et qu’il y a beaucoup plus de risques d’erreur. Avec le cercle de 10 cm, nous avons trouvé que la Terre mesurait 15 357 km, et avec le cercle de 5 cm qu’elle mesurait 25 339 km…
4°) Troisième expérience : nous avons volontairement raté le découpage de notre secteur angulaire
En reprenant les mesures de la semaine dernière, nous avons découpé dans du bristol un secteur angulaire représentant la différence des angles alpha entre Toussaint et Vayres, soit 5°, et nous avons découpé un deuxième secteur angulaire de 4° seulement.
Avec le secteur angulaire de 5°, on obtient une circonférence de la Terre de 43 040 km. Par contre, avec le secteur de 4°, nos calculs ont été profondément déformés et nous avons obtenu une circonférence terrestre de 56 592 km. Un petit degré d’erreur dans le découpage de notre secteur angulaire aboutit donc à une erreur de 56 592 – 43 040 = 13 552 km pour le tour de la Terre !!!
5°) Quatrième expérience : nous avons mesuré les ombres à la mauvaise heure
Au lieu de faire notre mesure de l’ombre du gnomon au moment du midi solaire, nous l’avons faite ½ heure plus tard. Le Soleil était déjà moins haut dans le ciel et l’ombre du gnomon s’était allongée de 5 mm par rapport à la mesure faite à midi précise. Le calcul de la circonférence de la Terre a lors donné un nombre bien évidemment totalement faux, de 11 318 km. Une demi-heure d’erreur dans la mesure de l’ombre du gnomon, et le calcul de la circonférence de la Terre passe de 43 040 km à 11 318 km…
6°) Cinquième et dernière expérience : la distance Toussaint-Vayres est mauvaise
Cette bêtise là, nous l’avons déjà fait la semaine dernière… pas la peine d’y revenir… Avec une distance Toussaint-Vayres fausse, de 732 km, nous avions trouvé une circonférence terrestre de 58 560 km. Par contre, avec la bonne valeur de 538 km, nous avions trouvé 43 040 km
7°) Conclusions pour réussir nos calculs :
Pour être sûr de réussir l’expérience d’Eratosthène, il faudra donc :
- vérifier avec un niveau à bulle que la planche est bien horizontale
- vérifier avec une équerre que le gnomon est bien perpendiculaire à la planche
- faire la mesure de l’ombre au moment précis du midi solaire, en réglant soigneusement nos montres sur l’heure donnée par l’horloge parlante
- faire notre mesure de la longueur de l’ombre avec un crayon bien taillé
- utiliser également un crayon bien taillé pour faire nos dessins et du papier millimétré pour mesurer notre angle α avec le plus de précision possible
- faire un dessin de la Terre le plus grand possible, par exemple sur une feuille de papier au format A3
- faire découper notre secteur angulaire par l’institutrice avec un cutter pour qu’il soit bien droit et bien précis. Ou bien utiliser un rapporteur pour placer Vayres sur le dessin au bon angle
- trouver la vraie distance séparant Toussaint et Vayres : le site internet de l’Institut Géographique National est parfait pour celà
- ne pas nous emmêler les pinceaux dans le calcul de la circonférence du cercle de notre dessin, ni dans le calcul de la fraction, ni dans le calcul final de la circonférence de la Terre
- et, bien évidemment, que nos amis de Vayres fassent, eux aussi, bien attention aux 9 points précédents afin que leurs mesures soient aussi précises que les nôtres.
Bonne chance à toutes et tous !
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