1°) L’angle d’Eratosthene vu depuis Toussaint

Avec 3 gnomons de taille différente, nous avons mesuré les ombres exactement au même moment, à 14 heures précises, le jeudi 15 février.

• Le gnomon de 5,1 cm de hauteur avait une ombre de 9,7 cm
• Le gnomon de 8,5 cm de hauteur avait une ombre de 16,7 cm
• Le gnomon de 15 cm de hauteur avait une ombre de 29,1 cm

Nous avons ensuite soigneusement reporté ces différentes mesures sur une feuille de papier quadrillé, en commençant d’abord par dessiner la ligne du sol, puis le gnomon, puis l’ombre du gnomon sur le sol. Enfin, nous avons dessiné le rayon de lumière du Soleil qui va depuis l’extrêmité de l’ombre jusqu’en haut du gnomon. Pour faire plus joli, nous avons prolongé ce rayon et avons dessiné à son extrêmité un petit Soleil (mais ce n’est pas obligatoire : sans le petit Soleil, çà marche quand même !).

En examinant nos 3 dessins, nous avons constaté que les lignes de sol et les gnomons dessinaient des lignes perpendiculaires, ce qui est logique puisque à chaque fois, nous avons fait bien attention à ce que les gnomons soient bien verticaux et que la planche des gnomons posée sur le sol soit bien horizontale

Nous avons ensuite divisé pour chacune de nos 3 mesures la longueur de l’ombre par la hauteur du gnomon, ce qui a donné les résultats suivants :

• Pour le gnomon de 5,1 cm  à 9,7 / 5,1 = 1,90
• Pour le gnomon de 8,5 cm  à 16,7 / 8,5 = 1,96
• Pour le gnomon de 15 cm à 29,1 / 15 = 1,94

En arrondissant ces chiffres à l’unité, nous avons constaté qu’à chaque fois, le résultat obtenu était 2 : cela veut dire que, quelle que soit la taille du gnomon, la longueur de son ombre était à chaque fois 2 fois plus grande que sa hauteur.

En 205 avant JC, Eratosthène avait mesuré l’angle que fait le gnomon et le rayon lumineux qui passe par le sommet de ce gnomon. Il avait appelé cet angle alpha, qui est la lettre de l’alphabet grec qui correspond à notre A. En grec, la lettre alpha s’écrit : α. Avec notre rapporteur, nous avons refait la même mesure pour chacun de nos trois gnomons.

Surprise ! Pour chacun des 3 gnomons, l’angle alpha était exactement le même, à 63° ! Nous en avons assez vite trouvé la raison : nos 3 mesures ont été faites exactement à la même heure, 14 h, et à ce moment, le Soleil était dans le ciel à la même hauteur au-dessus de l’horizon. Les planches étaient toutes bien à l’horizontale, donc parallèles avec l’horizon et les gnomons, eux étaient tous bien verticaux donc parallèles entre eux. La hauteur du Soleil dans le ciel étant identique, les angles α devaient alors forcément être identiques eux aussi.

2°) L’angle d’Eratosthene vu depuis Vayres

Le même jour, à 14 heures également, les jeunes du club d’astronomie Vega de la Lyre, situé à Vayres, non loin de Bordeaux, se sont livrés à la même expérience de mesure de l’ombre en employant comme nous un gnomon de 8,5 cm de hauteur.

La longueur de leur ombre a été totalement différente de la nôtre : 12,5 cm. Dans ces conditions, la division de la longueur de l’ombre par la hauteur du gnomon et le calcul de l’angle α ont été, bien évidemment, différents des nôtres !

Une seule explication est possible : le Soleil à Vayres est beaucoup plus haut dans le ciel qu’à Toussaint.

Soleil plus haut veut dire ombre plus courte et par conséquent angle α plus petit.

Comment le Soleil peut-il sembler plus haut à Vayres qu’à Toussaint et donner ainsi des ombres plus courtes que chez nous, à Toussaint ?

Après y avoir longuement réfléchi, et avoir fait plusieurs expériences, nous en sommes arrivés à la conclusion suivante : il faut que le sol soit courbé et par conséquent que la Terre soit ronde. C’est la seule solution satisfaisante pour obtenir avec le même gnomon une réelle différence de longueur des ombres entre Toussaint et Vayres

C’est une découverte qu’Eratosthène avait déjà faite en 205 avant JC… Costaud, très costaud le père Erato…

Si on fait un dessin de la Terre, on comprend très vite comment çà marche si on plante le même gnomon bien verticalement (c'est-à-dire pointant vers le centre de la Terre) en deux endroits distincts.

Il suffit de tracer un rayon de Soleil bien parallèle à ceux déjà dessinés à droite sur le schéma ci-dessus, mais passant par le sommet du gnomon 1 : on aura ainsi un bel angle α qui sera facile à mesurer avec un rapporteur, comme le montre le schéma ci-dessous.

En refaisant la même chose avec le gnomon 2, on constate très vite sur le schéma ci-dessus que les ombres et les angles α sont complètement différents :

• L’angle α du gnomon 1 est de 48°
• L’angle α du gnomon 2 est de 32°

3°) Et l’angle alpha dans un mois ?

Nous n’avons pas réussi à nous mettre parfaitement d’accord sur ce qui allait se passer dans un mois

Une chose est sûre et certaine : dans un mois, ce sera le printemps et le Soleil sera lors beaucoup plus haut dans le ciel de Toussaint qu’il ne l’est aujourd’hui. Par conséquent, l’ombre de notre gnomon sera plus courte et l’angle α plus petit. Nous avons été tous bien d’accord sur ce point

Par contre, nous ne sommes pas d’accord sur ce qui va se passer pour nos amis de Vayres : la moitié de la classe pense qu’à Vayres, le Soleil sera plus bas et, par conséquent, que l’ombre de leur gnomon sera plus longue et son angle α plus grand aussi. Mais l’autre moitié de la classe pense exactement le contraire : l’ombre et l’angle α à Vayres seront plus petits ; et comme Vayres est plus au sud que Toussaint, leur ombre et leur angle α seront même bien plus petits que ceux de Toussaint

L’expérience qui va nous permettre de savoir qui a raison est facile à faire : chaque jeudi, si le ciel est beau, nous mesurerons l’ombre d’un gnomon à la même heure à Toussaint et à Vayres. En accord avec le club Vega de la Lyre, nous avons décidé de fabriquer un beau gnomon de 10 cm de hauteur, et de faire nos mesures le jeudi à 14 heures précises. Et dans un mois nous n’aurons plus qu’à comparer nos résultats…

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